각뿔대 부피 구출하는 공식 전체 큰 각뿔부피을 활용하는 방법으로 잘려나간 각뿔부피를 빼야해요

각뿔대 부피 구출하는 공식 총체적 큰 각뿔부피을 활용하는 방법으로 잘려나간 각뿔부피를 빼야해요

미분적분학 회전체의 부피는 정적분의 활용으로 분류됩니다. 미소 부피 dV를 구한 후 정적분을 취하면 회전체의 부피를 구할 수 있습니다. 단면적을 사용하는 disk method와 속이 빈 원통을 활용하는 Cylindrical Shell method 두 가지를 소개하겠습니다. 회전축에 수직으로 자른 단면을 쌓는 방식이기 때문에 disk method라고 부릅니다. 먼저 기본 공식을 살펴봅시다.

반지름 r, 높이 h인 원기둥

원기둥의 부피를 구출하는 방법은 다른 각기둥 부피를 구출하는 방식과 동일합니다. 기둥은 바닥면 모양이 위 방향으로 돌출된 것으로 얇아지는 바닥면모양을 쌓아 올린 것이므로 바닥면의 넓이에 높이값을 곱해주면 됩니다.

원기둥의 겉넓이와 닮은 전개도가 어떤 모양으로 생겼는지 알아야합니다. 아래와 같이 위, 아래에 같은 크기의 원이 있고, 옆면을 펼치면 직사각형 모양이 됩니다. 이 직사각형의 가로 길이와 닮은 바닥면 원의 원주의 길이와 같습니다.

밑면이 사다리꼴인 사각기둥의 부피

사다리꼴은 한쌍의 대변이 평행한 사각형입니다. 삼각형이 아닌데 12을 곱해주는 사다리꼴의 넓이와 닮은 사각형의 넓이 중에서 아이 인물들이 최고 어려워하는 부분입니다. 다음 2가지 사다리꼴의 예시에서처럼 사다리꼴의 넓이를 구하기 위해서는 합동인 이상의 사다리꼴을 하나 더 만들어 붙여놓고 생각합니다. 사다리꼴을 하나 더 만들어 붙여보면 평행사변형이 되는 것을 활용합니다. 평행사변형의 넓이 구출하는 방법은 앞에서 살펴본 것처럼 밑변과 높이의 곱이므로, 사다리꼴의 평행한 두변의 길이 a, b를 합한 것이 평행사변형의 밑변이 되게 됩니다.

다만, 사다리꼴을 2개로 놓고 계산했으므로, 12을 곱해주는 것입니다. [예제] 다음과 같은 사다리꼴을 밑면으로 하고, 이 밑면을 높이 10의 각기둥으로 만들었을때의 부피를 구하시오. 사다리꼴의 넓이를 먼저 구해야합니다.

밑면이 평행사변형인 사각기둥의 부피

밑면의 모양이 평행사변형이어도 이 밑면모양으로 만들어진 사각기둥의 부피 구출하는 공식은 밑면의 넓이각기둥의 높이입니다. 다면, 밑면의 넓이를 구출하는 방식이 앞의 직사각형보다. 복잡할 수 있습니다. 평행사변형의 밑면의 넓이를 구출하는 방법은 어떤 값이 주어졌느냐에 따라 난이도가 달라질 수 있습니다. 아래의 평행사변형에서처럼, 밑변 a와 높이 h가 주어졌을때 가장 쉽습니다. 평행사변형의 넓이와 닮은 직각삼각형의 합동을 적용하여 아래 표시한 두 직각삼각형이 합동이므로 밑변 a와 높이 h인 직각사각형의 넓이와 같습니다.

높이 h 대신, 기울어진 변 b와 끼인각 x를 알고 있다면야 삼각비를 이용해야합니다. 하지만, 이 경우 초중등범위에서는 30도, 45도, 60도 등 특정값만 활용합니다.

겉넓이 구하기

cn을 n방법 정사각형의 개수라 가정하자. 이 때, cn을 순서대로 계산하면, 다음과 같은 점화식을 얻을 있습니다. 이 점화식의 일반항을 구하고, 극한값을 계산한다면 멩거스펀지의 겉넓이를 구할 있습니다. 분명한 산출 과정은 아래 영상에 잘 소개되어 있습니다. 계산설명을 거치면 멩거스펀지의 겉넓이와 닮은 다음과 같다. 따라서 멩거스펀지의 부피 극한값은 0, 겉넓이와 닮은 무한대임을 알 있습니다.

밑면이 직사각형인 사각기둥의 부피

다음은 직사각형과 정사각형입니다. 이 두 사각형은 내각이 90도로 직각을 이루고 있으므로 넓이 계산이 쉽습니다. 직사각형의 가로가 a, 세로가 b라면, 넓이와 닮은 가로와 세로의 곱인 ab, 즉 ab입니다. 이 직사각형이 높이 D를 소유하는 사각기둥이 되었다면, 이 사각기둥의 부피는 앞에서 계산한 밑면 넓이 ab에 D를 곱해주면 됩니다. 정사각형의 경우, 가로의 길이와 세로의 길이가 같다는 점을 제외하고는 직사각형과 동일합니다.

b 대리 a가 들어가면 됩니다. 예제 밑면의 가로 길이가 5cm, 세로 길이가 3cm, 그리고 높이가 5cm 인 각기둥의 부피를 구하시오. >>> 투시도에서 표시한 밑면의 넓이를 먼저 구해줍니다.

삼각뿔대의 부피를 계산해보자

다양한 각뿔대 중 삼각뿔대를 예로 부피를 계산해보겠습니다. 위에서 설명한 것처럼 다음의 순서대로 계산하면 됩니다. 1. 밑면의 넓이 2. 각기둥의 부피 3. 각뿔의 부피 4. 각뿔대의 부피 위의 잘려나간 작은 뿔의 부피 부분 닮음을 이용하면 더 어렵지 않게 해결할 수 있습니다. 닮음 내용까지 접근하는 것이 더 복잡해질까 걱정되어, 큰 뿔의 부피를 구할때와 같이 계산했습니다. 닮음에서 길이의 비가 12인 경우이며, 길이의 비가 12이면 넓이의 비는 14, 부피의 비는 18임을 활용할 수도 있습니다.

이렇게 생각하면 큰 뿔의 부피가 12이므로, 작은 뿔의 부피는 12를 8로 나눈 값으로 1.5로 같은 값이 나옵니다. ) 계산이 복잡하지만, 차근 차근 생각하면 다른 각뿔대도 해결할 수 있습니다.

빈번히 묻는 질문